http://solumate.blogspot.com.ar/2008/04/potencia-de-3.html

Potencia de 3

Enunciado

Evidentemente, no podemos calcular a mano 3²⁰⁰⁸. Si no vamos a hacer trampas (hay calculadoras enInternet que pueden calcularlo), debemos empezar por calcular las primeras potencias, poniendo especial cuidado en la última cifra. La primera potencia interesante es 3² = 3*3 = 9. Después, 3³ = 9*3 = 27. Observamos que la última cifra es un 7. La siguiente potencia, 3⁴ = 27*3 = 81, acaba en 1, y ese 1 lo obtenemos de multiplicar 7*3, que da 21.

Supongo que te habrás dado cuenta que para obtener la última cifra, no necesitamos calcular las demás, es decir, que sólo necesitamos saber la última cifra de la potencia anterior. Así, para sacar la última cifra de 3⁵, basta multiplicar 1 por 3, y sabemos que es 3. La última cifra de 3⁶ será, entonces, 9, y la de 3⁷, 7. Así que para 3⁸ volveremos a tener 1 en la última cifra.

En resumidas cuentas, se produce un ciclo que se repite potencia tras potencia. Del 3 al 9, de éste al 7 y de 7 a 1, y vuelta a empezar. Cada cuatro potencias, volvemos a tener un ciclo. La potencia que nos interesa, 2008, es múltiplo de 4 (es año bisiesto, ya sabes). Y, como el ciclo es de 4 números, todas las potencias múltiplos de 4 acaban en lo mismo. Como 3⁴, todas acaban en 1. También 3²⁰⁰⁸ acaba en 1.